參數方程與普通方程的互化教學教案
第03時
3.1.3參數方程與普通方程的互化
學習目標
1．明確參數方程與普通方程互化的必要性.
2．掌握參數方程化為普通方程的幾種基本方法，能選取適當的參數化普通方程為參數方程.
學習過程
一、學前準備
復習：1、在解方程組中通常用的消元方法有哪些？
2. 寫出圓 的參數方程，圓 呢？
二、新導學
探究新知（預習教材P24～P26，找出疑惑之處）
問題１：方程 表示什么圖形？
問題2：上節例2中求出點 的參數方程是 ， 那么點 的軌跡是什么？
小結：1.曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同形式.
2.曲線的參數方程與普通方程一般可以互化.
應用示例
例1．把下列參數方程化為普通方程，并說明它表示什么曲線：
（１） （ 為參數）
（２） （ 為參數）
例2 .將橢圓普通方程 按以下要求化為參數方程：（1）設
反饋練習
1．把下列的參數方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線。
（1） ）
2．根據下列要求，把曲線的普通方程化為參數方程：
１） .
2）已知圓的方程 ，選擇適當的參數將它化為參數方程.
三、總結提升
本節小結
1. 消去參數的常用方法有：１）代入法
２）利用代數或三角函數中的恒等式消去參數.
2.互化中必須使 的取值范圍保持一致.
3.同一個普通方程可以有不同形式的參數方程.
學習評價
一、自我評價
你完成本節導學案的情況為（ ）
A．很好 B．較好 C． 一般 D．較差
二、當堂檢測
1．曲線 的一種參數方程是（ ）.
2．在曲線 上的點為（ ）
A．(2,7) B． C． D．(1,0)
3. 曲線 的軌跡是（ ）
A．一條直線 B．一條射線
C．一個圓 D．一條線段
4．方程 表示的曲線是（ ）
A．余弦曲線 B．與x軸平行的線段
C．直線 D．與y軸平行的線段
后作業
. 1. 已知圓方程 ，選擇適當的參數將它化為參數方程.
2.把下列的參數方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線。
（1）
（2）
3.（選做）化下列普通方程為參數方程：
反思小結：
幾何體的表面積與體積
學案1 集合的概念與運算
一、前準備：
【自主梳理】
1．側面積公式： ， ， ， ， ， ．
2．體積公式： = ， ， ， ．
3．球 ： ， ．
4．簡單的組合體：
⑴正方體和球 正方體的邊長為 ，則其外接球的半徑為 ．
正方體的邊長為 ，則其內切球的半徑為 ．
⑵正四面體和球 正四面的邊長為 ，則其外接球的半徑為 ．
【自我檢測】
1．若一個球的體積為 ，則它的表面積為_______．
2．已知圓錐的母線長為2，高為 ，則該圓錐的側面積是 ．
3．若圓錐的母線長為3cm，側面展開所得扇形圓心角為 ，則圓錐的體積為 ．
4．在 中，若 ，則 的外接圓半徑 ，將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體 中，若 兩兩垂直， ，則四面體 的外接球半徑 _____________________．
5．一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是 ，這個長方體它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是 ．
6．如圖，已知正三棱柱 的底面邊長為2 ，高位5 ，一質點自 點出發，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達 點的最短路線的長為 ．
二、堂活動：
【例1】題：
（1）一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4π cm 和25π cm ，則(1)圓臺的高
為 (2)截得此圓臺的圓錐的母線長為 ．
（2）若三棱錐的三個側棱兩兩垂直，且側棱長均為 ，則其外接球的表面積是 .
（3）三棱柱的一個側面面積為 ，此側面所對的棱與此面的距離為 ，則此棱柱的體積為 ．
（4）已知三棱錐O－ABC中，OA、OB、OC兩兩互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，則已知三棱錐O－ABC體積的最大值是 ．
【例2】如圖所示，在棱長為2的正方體 中， 、 分別為 、 的中點．
（1）求證： //平面 ；
（2）求證： ；
（3）求三棱錐 的體積．
【例3】如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA=AD=2，BD= 。
（1）求棱錐P-ABCD的體積；
（2）求點C到平面PBD的距離．
堂小結
（1）了解柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積公式；
（2）了解一些簡單組合體（如正方體和球，正四面體和球）；
（3）幾何體表面的最短距離問題------側面展開.
三、后作業
1．一個球的外切正方體的全面積等于 ，則此球的體積為 .
2．等邊圓柱（底面直徑和高相等的圓柱）的底面半徑與球的半徑相等，則等邊圓柱的表面積與球的表面積之比為 ．
3．三個平面兩兩垂直，三條交線相交于 ， 到三個平面的距離分別為1、2、3，
則 = .
4．圓錐的全面積為 ，側面展開圖的中心角為60°，則該圓錐的體積為 .
5．如圖，三棱柱 的所有棱長均等于1，且 ，則該三棱柱的體積是 ．
6．如圖，已知三棱錐A—BCD的底面是等邊三角形，三條側棱長都等于1，且∠BAC＝30°，、N分別在棱AC和AD上，則 B＋N＋NB的最小值為 ．
7．如圖，在多面體 中，已知 是邊長為1的正方形，且 均為正三角形， ∥ ， =2，則該多面體的體積為 ．
8．已知正四棱錐 中， ，那么當該棱錐的體積最大時，則高為 ．
9．如圖，已知四棱錐 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ， 平面 ， ．
（1）求證： 平面 ；
（2）求證： 平面 ；
（3）若 是 的中點，求三棱錐 的體積．
10．如圖，矩形 中， ⊥平面 ， ， 為 上的一點，且 ⊥平面 ， ，求三棱錐 的體積．
四、糾錯分析
錯題卡題 號錯 題 原 因 分 析
一、前準備：
【自主梳理】
1．
2．
3． 4
4．
【自我檢測】
1．12 2．2 3． 4． 5．6π 6．13
二、堂活動：
【例1】題
1．（1） 20 （2）3 （3） （4）
【例2】（Ⅰ）連結 ，在 中， 、 分別為 ， 的中點，則
（Ⅲ） ， ，且 ，
∴ ，即 . =
【例3】解：（1）由 知四邊形ABCD為邊長是2的正方形，
,又PA 平面ABCD ， = .
（2）設點C到平面PBD的距離為 ，
PA 平面ABCD， = .
由條 ， .
由 .得 .
點C到平面PBD的距離為 .
三、后作業
1． 2．3：2 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9．（1）證明： ，且 平面 ，∴ 平面 .
（2）證明：在直角梯形 中，過 作 于點 ，則四邊形 為矩形.
∴ .又 ，∴ .在Rt△ 中， ，
則 ， ∴ .
又 ， ∴ .
， ∴ 平面 .
（3）∵ 是 中點， ∴ 到面 的距離是 到面 距離的一半.
10．解：連結 ．可證三棱錐 中， 與底面 垂直，所以所求
體積為 ．
等比數列的概念及通項
M
課時20 等比數列的概念及通項
目標：1．掌握等比數列的概念。
2．能根據等比數列的通項公式，進行簡單的應用。
過程：
1．觀察以下數列：
1，2，4，8，16，……
3，3，3，3，……
2．相比與等差數列，以上數列有什么特點？
等比數列的定義：
定義的符號表示 ，注意點：① ，② 。
3．判斷下列數列是否為等比數列，若是，請指出公比 的值。
（1）
（2）
（3）
（4）
4．求出下列等比數列的未知項。
（1） ； （2） 。
5．已知 是公比為 的等比數列，新數列 也是等比數列嗎？如果是，公比是多少？
6．已知無窮等比數列 的首項為 ，公比為 。
（1）依次取出數列 中的所有奇數項，組成一個新數列，這個數列還是等比數列嗎？如果是，它的首項和公比是多少？
（2）數列 （其中常數 ）是等比數列嗎？如果是，它的首項和公比是多少？
二、通項公式
1．推導通項公式
例1．在等比數列 中，
（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 。
例2．在243和3中間插入3個數，使這5個數成等比數列，求這三個數。
例3．已知等比數列 的通項公式為 ，（1）求首項 和公比 ；
（2）問表示這個數列的點 在什么函數的圖像上？
例4．類比等差數列填空：
等差數列等比數列
通項
定義從第二項起，每一項與它的前一項的差都是同一個常數。
首項，公差（比）
取值有無限制沒有任何限制
相應圖像的特點直線 上孤立的點
課后作業：
1． 成等比數列，則 = 。
2．在等比數列 中，
（1）已知 ，則 = ， = 。
（2）已知 ，則 = 。
（3）已知 ，則 = 。
3．設 是等比數列，判斷下列命題是否正確？
（1） 是等比數列 （ ）； （2） 是等比數列 （ ）
（3） 是等比數列 （ ）； （4） 是等比數列 （ ）
（5） 是等比數列 （ ）； （6） 是等比數列 （ ）
4．設 成等比數列，公比 =2，則 = 。
5．在G.P 中，（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 。
6．在兩個同號的非零實數 和 之間插入2個數，使它們成等比數列，試用 表示這個等比數列的公比。
7．已知公差不為0的等差數列的第2，3，6項，依次構成一個等比數列，求該等比數列的通項。
8．已知 五個數構成等比數列，求 的值。
9．在等比數列 中， ，求 。
10．三個正數成等差數列，它們的和為15，如果它們分別加上1，3，9就成等比數列，求這三個數。
11．已知等比數列 ，若 ，求公比 。
12．已知 ，點 在函數 的圖像上，（ ），設 ，求證： 是等比數列。
問題統計與分析
２.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征
２.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征
目標：
知識與技能
（1）正確理解樣本數據標準差的意義和作用，學會計算數據的標準差。
（2）能根據實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并做出合理的解釋。
（3）會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征。
（4）形成對數據處理過程進行初步評價的意識。
過程與方法
在解決統計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數形結合的數學思想和邏輯推理的數學方法。
情感態度與價值觀
會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統計的作用，能夠辨證地理解數學知識與現實世界的聯系。
重點與難點
重點：用樣本平均數和標準差估計總體的平均數與標準差。
難點：能應用相關知識解決簡單的實際問題。
設想
【創設情境】
在一次射擊比賽中?甲、乙兩名運動員各射擊??次，命中環數如下?
甲運動員??，?，?，?，?，?，?，??，?，?；
乙運動員??，?，?，?，?，?，?，?，?，???
觀察上述樣本數據，你能判斷哪個運動員發揮的更穩定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規律，我們要通過樣本的數據對總體的數字特征進行研究。——用樣本的數字特征估計總體的數字特征（板出課題）。
【探究新知】
<一>、眾數、中位數、平均數
〖探究：P62
（1）怎樣將各個樣本數據匯總為一個數值，并使它成為樣本數據的“中心點”？
（2）能否用一個數值來描寫樣本數據的離散程度？（讓學生回憶初中所學的一些統計知識，思考后展開討論）
初中我們曾經學過眾數，中位數，平均數等各種數字特征，應當說，這些數字都能夠為我們提供關于樣本數據的特征信息。例如前面一節在調查???位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數據的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數是（最高的矩形的中點）（圖略見課本第??頁）它告訴我們，該市的月均用水量為的居民數比月均用水量為其他值的居民數多，但它并沒有告訴我們到底多多少。
〖提問：請大家翻回到課本第??頁看看原來抽樣的數據，有沒有這個數值呢？根據眾數的定義，????怎么會是眾數呢？為什么？（請大家思考作答）
分析：這是因為樣本數據的頻率分布直方圖把原始的一些數據給遺失的原因，而????是由樣本數據的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差。
〖提問：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數呢？
分析：在樣本數據中，有50%的個體小于或等于中位數，也有50%的個體大于或等于中位數。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等。由此可以估計出中位數的值為????。（圖略見課本63頁圖）
〖思考：????這個中位數的估計值，與樣本的中位數值???不一樣，你能解釋其中的原因嗎？（原因同上：樣本數據的頻率分布直方圖把原始的一些數據給遺失了）
（課本63頁圖）顯示，大部分居民的月均用水量在中部（左右），但是也有少數居民的月均用水量特別高，顯然，對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的。
〖思考：中位數不受少數幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優點，但是它對極端值的不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？（讓學生討論，并舉例）
<二>、標準差、方差
１．標準差
平均數為我們提供了樣本數據的重要信息，可是，有時平均數也會使我們作出對總體的片面判斷。某地區的統計顯示，該地區的中學生的平均身高為１７６?，給我們的印象是該地區的中學生生長發育好，身高較高。但是，假如這個平均數是從五十萬名中學生抽出的五十名身高較高的學生計算出來的話，那么，這個平均數就不能代表該地區所有中學生的身體素質。因此，只有平均數難以概括樣本數據的實際狀態。
例如，在一次射擊選拔比賽中?甲、乙兩名運動員各射擊??次，命中環數如下?
甲運動員??，?，?，?，?，?，?，??，?，?；
乙運動員??，?，?，?，?，?，?，?，?，???
觀察上述樣本數據，你能判斷哪個運動員發揮的更穩定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？
我們知道， 。
兩個人射擊的平均成績是一樣的。那么，是否兩個人就沒有水平差距呢？（觀察Ｐ６６圖２.２-８）直觀上看，還是有差異的。很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此我們從另外的角度來考察這兩組數據。
考察樣本數據的分散程度的大小，最常用的統計量是標準差。標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示。
樣本數據 的標準差的算法：
（１）、算出樣本數據的平均數 。
（２）、算出每個樣本數據與樣本數據平均數的差：
（３）、算出（２）中 的平方。
（４）、算出（３）中n個平方數的平均數，即為樣本方差。
（５）、算出（４）中平均數的算術平方根，，即為樣本標準差。
其計算公式為：
顯然，標準差較大，數據的離散程度較大；標準差較小，數據的離散程度較小。
〖提問：標準差的取值范圍是什么？標準差為０的樣本數據有什么特點？
從標準差的定義和計算公式都可以得出： 。當 時，意味著所有的樣本數據都等于樣本平均數。
（在課堂上，如果條件允許的話，可以給學生簡單的介紹一下利用計算機來計算標準差的方法。）
２．方差
從數學的角度考慮，人們有時用標準差的平方 （即方差）來代替標準差，作為測量樣本數據分散程度的工具：
在刻畫樣本數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差。
【例題精析】
〖例1：畫出下列四組樣本數據的直方圖，說明他們的異同點。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先畫出數據的直方圖，根據樣本數據算出樣本數據的平均數，利用標準差的計算公式即可算出每一組數據的標準差。
解：（圖略，可查閱課本Ｐ６８）
四組數據的平均數都是５.０，標準差分別為：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他們有相同的平均數，但他們有不同的標準差，說明數據的分散程度是不一樣的。
〖例2：（見課本Ｐ６９）?
分析：?比較兩個人的生產質量，只要比較他們所生產的零件內徑尺寸所組成的兩個總體的平均數與標準差的大小即可，根據用樣本估計總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應的樣本數據，然后比較這兩個樣本數據的平均數、標準差，以此作為兩個總體之間的差異的估計值。
【課堂精練】
P７１ 練習 1. 2. 3 ４
【課堂小結】
1．用樣本的數字特征估計總體的數字特征分兩類：
a)用樣本平均數估計總體平均數。
b)用樣本標準差估計總體標準差。樣本容量越大，估計就越精確。
2．平均數對數據有“取齊”的作用，代表一組數據的平均水平。
3．標準差描述一組數據圍繞平均數波動的大小，反映了一組數據變化的幅度。
【評價設計】
1．P７２ 習題A組?３、 ４、１０
引導公式
泗縣三中教案、學案：引導公式2
年級高一學科數學題引導公式2
授時間撰寫人時間
學習重點掌握 角的正弦、余弦的誘導公式及其探求思路
學習難點 角的正弦、余弦誘導公式的推導.
學 習 目 標
1. 掌握 －α、 ＋α兩組誘導公式；
2. 能熟練運用六組誘導公式進行求值、化簡、證明..
教 學 過 程
一 自 主 學 習
復習1：寫出關于2kπ+α、π＋α、－α、π－α的四組誘導公式.
復習2：推導2π－α的誘導公式.
問題：① －α的終邊與α的終邊有何關系？ 關于直線 對稱
② 根據終邊的對稱關系，你可得到關于 －α的誘導公式嗎？
新知：誘導公式（五）.
六組誘導公式的記憶.
六組誘導公式都可統一為“ ”的形式，記憶的口訣為“奇變偶不變，符號看象限”. （符號看象限是把α看成銳角時原三角函數值的符號）
※ 典型例題
二 師 生 互動
例1 求證：（1） ；
（2） .
變式：（1） ；
（2） .
小結：體會口訣：“奇變偶不變，符號看象限”.
例2 已知 ，計算：
（1） ； （2） .
化簡：
（1） ；
三 鞏 固 練 習
1. 若 ，則 =（ ）.
A. B. C. D.
2. 若 ，則 （ ）.
A. B. C. D.
3. 化簡 =（ ）.
A. B.
C. B.
4. = .
5. 若 ，則 .
四 后 反 思
五 后 鞏 固 練 習
1. 化簡： （k∈Z）.
2. 已知 ,求 的值.
極坐標系的的概念學案
第3時
1.2.1極坐標系的的概念
學習目標
1．能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置.
2.體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別.
學習過程
一、學前準備
情境1：軍艦巡邏在海面上，發現前方有一群水雷，如何確定它們的位置以便將它們引爆？
情境2：如圖為某校園的平面示意圖，假設某同學在樓處。
（1）他向東偏60°方向走120后到達什么位置？該位置唯一確定嗎？
（2）如果有人打聽體育館和辦公樓的位置，他應如何描述？
問題1：為了簡便地表示上述問題中點的位置，應創建怎樣的坐標系呢？
問題2：如何刻畫這些點的位置？
二、新導學
探究新知（預習教材P8～P10，找出疑惑之處）
1、如右圖，在平面內取一個 ，叫做 ；
自極點 引一條射線 ，叫做 ；在選定一個 ，
一個 （通常取 ）及其 （通常取 方向），
這樣就建立了一個 。
2、設 是平面內一點，極點 與 的距離 叫做點 的 ，記為 ；以極軸 為始邊，射線 為終邊的角 叫做點 的 ，記為 。有序數對 叫做點 的 ，記作 。
3、思考：直角坐標系與極坐標系有何異同？
___________________________________________.
應用示例
例題1：（1）說出右圖中各點的極坐標
（2）：思考下列問題，在橫線上給出解答。
①平面上一點的極坐標是否唯一？
②若不唯一，那有多少種表示方法？ ③坐標不唯一是由誰引起的？
④不同的極坐標是否可以寫出統一表達式？ ⑤本題點 的極坐標統一表達式。
解：
反饋練習
在下面的極坐標系里描出下列各點
小結：在平面直角坐標系中，一個點對應 個坐標表示，一個直角坐標對應 個點。極坐標系里的點的極坐標有 種表示，但每個極坐標只能對應 個點。
三、總結提升
本節小結
1．本節學習了哪些內容？
答：能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置.
學習評價
一、自我評價
你完成本節導學案的情況為（ ）
A．很好 B．較好 C． 一般 D．較差
后作業
1．已知 ，下列所給出的不能表示點的坐標的是
A． B．
C． D．
2、在極坐標系中,與(,θ)關于極軸對稱的點是( )
A、 B、
C、 D、
3、設點P對應的復數為-3+3i，以原點為極點，實軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標為（ ）
A.( ， ) B. ( ， )
C. (3， ) D. (3， )
4、在右圖中，用點A、B、C、D、E分別表示樓，體育館，圖書館，實驗樓，辦公樓的位置，建立適當的極坐標系，寫出各點的極坐標。
5、中央氣象臺在2004年7月15日10：30發布的一則臺風消息；今年第9號熱帶風暴“圓規”的中心今天上午八點鐘已經移到了廣東省汕尾市東南方大約440公里的南海東北部海面上，中心附近最大風力有9級。請建立適當的坐標系，用坐標表示出該臺風中心的位置。
圓錐曲線學案練習題
j.Co M
2.1 圓錐曲線
一、知識要點
1.通過用平面截圓錐面，經歷從具體情境中抽象出橢圓；拋物線模型的過程；
2.橢圓的定義：
3.雙曲線的定義：
4.拋物線的定義：
5.圓錐曲線的概念：
二、例題
例1.試用適當的方法作出以兩個定點 為焦點的一個橢圓。
例2.已知：
⑴到 兩點距離之和為9的點的軌跡是什么圖形？
⑵到 兩點距離之差的絕對值等于6的點的軌跡是什么圖形？
⑶到點 的距離和直線 的距離相等的點的軌跡是什么圖形？
例3.(參選)在等腰直角三角形 中， ， ，以 為焦點的橢圓過 點，過點 的直線與該橢圓交于 兩點，求 的周長。
三、課堂檢測
1.課本P26 2www.
2.課本P26 3
3.已知 中， 且 成等差數列。
⑴求證：點 在一個橢圓上運動；
⑵寫出這個橢圓的焦點坐標。
四、歸納小結
五、課后作業
1.已知 是以 為焦點，直線 為準線的拋物線上一點，若點M到直線 的距離為 ，則 =
2.已知點 ，動點 滿足 ，則點 的軌跡是 。
3.已知點 ，動點 滿足 ( 為正常數)。若點 的軌跡是以 為焦點的雙曲線，則常數 的取值范圍是 。
4. 已知點 ，動點 滿足 ，則動點 的軌跡是 。
5.若動圓與圓 外切，對直線 相切，則動圓圓心的軌跡是 。
6.已知 中， ，且 成等差數列。
⑴求證：點 在一個橢圓上運動；⑵寫出這個橢圓的焦點坐標。
7.已知 中， 長為6，周長為16，那么頂點 在怎樣的曲線上運動？
8.如圖，取一條拉鏈，打開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點 上。把筆尖放在點 處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經過的點就畫出一條曲線，這條曲線是雙曲線的一支，試說明理由。
9.若一個動點 到兩個定點 的距離之差的絕對值為定值 ，試確定動點 的軌跡。
10.動點 的坐標滿足 ，試確定 的軌跡。
六、預習作業
1.方程 表示橢圓則 的取值范圍 。
2.方程 表示焦點在 軸上 。
3.方程 的焦點坐標為 。
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方程的意義教學方案10-08
方程的認識教學方案10-08
《方程》教案3篇10-08
《方程》教案6篇10-08