約數和倍數的意義數學教案設計
一、教法建議
【拋磚引玉】
通過本單元的教學要使學生掌握整除、約數、倍數、質數、合數、質因數、公約數、最大公約數、公倍數、最小公倍數等概念；知道有關概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，能夠有條理、有根據地進行思考；能使學生掌握能被2、5、3整除的數的特征；會分解質因數；會求最大公約數（兩個數）和最小公倍數，數學教案－約數和倍數的意義。
（一）教學整除的概念
因為整除這部分知識，學生在第八冊教材中已接觸過，因此在教學整除的概念時要注意抓住三點。
1.復習“整除”的意義。
例如：你能說出整除的含義嗎？下面哪個算式的第一個數能被第二個數整除？
23÷7=3……2 6÷5=1.2
15÷3=5 24÷2=12
2.用定義的形式對“整除”加以概括，并用字母表示。
兩個數相除，如果用字母表示，可以這樣說：整數a除以整數b (b≠0)，除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除（也就可以說b能整除a）。
3.突出強調除數不有是0。
（二）教學約數和倍數的概念
約數和倍數的概念是本單元最基本的概念，教學時要抓住五點。
1.通過“整除”引出“約數”和“倍數”的概念后，加以概括。
例如：15÷3=5，15能被3整除，我們就說15是3的倍數，3是15的約數。
如果整數a能被整數b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。
2.要強調倍數和約數是一對密不可分的概念。它們是互相依存的關系。
3.要掌握求一個數的“約數”和“倍數”的方法，并掌握其各自的特征。
在掌握一個數的約數和倍數求法的基礎上，重點說明其特征：
一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1最大的約數是它本身。
一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。
可討論一下為什么？
4.強調一個數既可以是另一個數的約數，又可以是其它數的倍數。
如：12既是60的約數，又是6的倍數。
5.要重點處理好0的問題。
根據約數和倍數的概念，0是任何自然數的倍數，任何自然數都是0的約數。但研究分解質因數、最大公約數、最小公倍數時，是把0除外的，所以要著重指出在后面研究的內容里不包括0，這樣可以減少不必要的麻煩。
（三）教學能被2、5、3整除的數的特征主要把握以下四點
1.通過觀察、引導，掌握能被2、5、3整除的數的特征。
2.能根據特征進行判斷。
3.通過能被2整除的特征，引出奇數和偶數的概念。
能被2整除的數叫偶數，不能被2整除的數叫做奇數。
4.深化知識，溝通知識之間的聯(lián)系。
(1)在□中填上幾符合要求。
5□，能被2整除又能被3整除。
1□0，能被2、3、5同時整除。
(2)能被9整除的數，能否一定被3整除？為什么？
（四）教學質數、合數、分解質因數要抓住四點
1.通過對每個數的約數的個數及特點進行分類，引出質數、合數的概念。
一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數（也叫做素數）。
如：2、3、5、7、11都是質數。
一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數。
如：4、6、8、9、10、12都是合數。
2.重點說明“1”既不是質數，也不是合數。
3.能利用質數與合數的概念，判斷一個數是質數還是合數。
如：下面哪些數是質數？哪些數是合數？
19、21、43、67、2、89
4.掌握質因數、分解質因數的概念和分解質因數的方法。
(1)每個合數教可以寫成幾個質數相乘的形式，其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數。
如：60=2×2×3×5，2、2、3、5都是60的質因數。
(2)把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。
(3)通常用短除法來分解質因數，這樣比較簡便。
12、15和20的最小公倍數是2×2×3×5=60。
求兩個數的最小公倍數，先用這兩個數公有的質因數連續(xù)去除（一般從最小的開始），一直除到所得的商是互質數為止，然后把所有的除數和最后的兩個商連乘起來。
【學法指要】
1.三個連續(xù)自然數的乘積為什么一定是6的倍數？
思路分析：因為任意三個連續(xù)自然數里，至少有一個是2的倍數和一個是3的倍數，而2的倍數與3的倍數的乘積，就必然是6的倍數。
2.書架上有96本科技讀物，如果不一次拿走，也不是一本一本地拿走，要求每次拿走的本數同樣多，而且正好取光，問共有多少種拿法？
思路分析：通過讀題，便可理解題目的意思，就是求96的約數的個數是多少，而題目告訴我們如果不一次拿走，也不是一本一本地拿走，實際是要我們把1和96這兩個約數扣除才是要求的答案。
96的約數的個數：（5＋1）×（1＋1）=12（個）
扣除約數1和96，則約數的個數是：12－2=10（個）
答：共有10種拿法。
3.在1～100的自然數中，既沒有約數2，又沒有約數3，還沒有約數5的數，共有多少個？
思路分析：在1～100的自然數中，把有約數2的數、有約數3的數、有約數5的數扣除，就是要求的答案的個數。
在1～100的自然數中，
有約數2的數有：100÷2=50（個）
有約數3的數有：100÷3=33（個）……1
有約數5的數有：100÷5=20（個）
有約數2、3的數有：100÷（2×3）=16（個）……4
有約數3、5的數有：100÷（3×5）=6（個）……10
有約數2、5的數有：100÷（2×5）=10（個）
有約數2、3、5的數有：100÷（2×3×5）=3（個）……10
解：在1～100的自然數中，既沒有約數2，又沒有約數3，還沒有約數5的自然數共有：100－[(50＋33＋20)－(16＋10＋6)＋3]=26（個）
4.用0、2、4、5、7組成一個五位數，使這個數是除以5余4的最小的五位數。
思路分析：用0、2、4、5、7組成的五位數有很多，如24570、24507、24057、20457……滿足最小五位數這個條件的最高位上的數字必須是最小 的那個數字，而這五個數字其中最小的那個數字是0，0在這五位數中不能排首位，所以只能把2排在最高位打頭。題目的要求是最小的五位數，千位上的數字必須是0，百位上是5，十位上是7，個位上是4。那么為什么百位上不是4呢？因為題目的要求是除以5余4。所以百位上的數字不能是4，只能把4放在個位上。
解：用0、2、4、5、7組成的一個五位數，使這個數除以5余4，還須是最小的五位數，那只能是20574。
5.一個長方體的3個側面積分別為s1=20平方厘米，s2=15平方厘米，s3=12平方厘米。求這個長方體的體積是多少？
思路分析：根據長方體6個面的特征，我們知道：每個長方體的6個面都是相對的兩個面的面積相等。但是已知的3個面的面積都不相等，我們就可以推出：已知的3個面一定相交于一個頂點。這樣，我們就可以畫出這個長方體的圖。
然后把已知條件都標在圖上，假設這個長方體的長、寬、高分別為a、b、c，s1=ab=20，s2=ac=15，s3=bc=12（如圖所示）。求這個長方體的體積，必須知道這個長方體的長、寬、高各是多少。但是長、寬、高都沒直接給出。不過，長、寬、高這三個數中，每兩個數的乘積我們都知道，如果把每兩個數的乘積再相乘，里面一定有三個數之積。我們仔細分析：ab×ac×bc，根據乘法的交換律和結合律，可以變換為(abc)×(abc)。如果我們能把3個側面積的積，分成兩個相同的數的乘積，問題就可以迎刃而解。abc就是長方形的體積。那么3個側面積的乘積怎樣分成兩個相同的數相乘呢？把這幾個相乘的數分解質因數。
解： 20×15×12
=2×2×5×3×5×3×2×2
=(2×2×3×5)×(2×2×3×5)
=60×60
∴abc=60
答：這個長方體的體積是60立方厘米。
【思維體操】
1.有甲、乙兩數，它們的最大公約數是6，最小公倍數是72，求甲、乙二數。
解法一： 72=2×2×2×3×3
=2×2×(2×3)×3
=4×6×3
4×6=24
6×3=18
答：甲、乙二數分別是24和18。
解法二： 72÷6=12
12=2×2×3
因為，2與6(2×3=6)不是互質數，所以，只有4(2×2=4)與3才是互質數。
6×4=24
6×3=18
答：甲、乙二數分別是24和18。
評析：解法一把甲、乙二數的最小公倍數分解質因數，從這個質因數連乘式中找出它們的最大公約數，再組成一個連乘式。這個連乘式中除去有它們的最大公約數外，必須有兩個互質數。用這兩個互質數分別乘以它們的最大公約數，就可以求出這兩個數。
解法二用甲、乙二數的最小公倍數除以它們的最大公約數，所得的商必是甲、乙二數取出最大公約數后，所剩下的兩個互質數的積。因此，把所求得的商再分解因數，并搭配成兩個互質數，最后用這兩個互質數分別乘以它們的最大公約數，就可以求出這兩個數了。這兩種解法各有千秋，一般采取第一種解法的比較多。
2.從1＋2＋3＋……＋1991所得的和是奇數還是偶數？
解法一：求出它們的和是多少？
=1983036
所以它們的和是偶數。
解法二：從1到1991的數中，偶數有1990÷2=995（個），其和為偶數；有995＋1=996（個）奇數，其和為偶數。因為兩個偶數的和一定是偶數。所以，1＋2＋3＋……＋1990＋1991的和是偶數。
評析：解法一是先確定其和是奇數還是偶數，根據求連續(xù)自然數和公式，求出它們的和，然后知道和是偶數。解法二是先確定從1到1991這1991個自然數中奇數的個數和偶數的個數，然后根據自然數中任意幾個偶數的和還是偶數，單數個奇數的和仍為奇數，雙數個奇數的和為偶數這一特征，來確定其和是奇數還是偶數。
這兩種解法，第一種是采用計算的方法比較麻煩，我們提倡第二種方法，它是根據這一列數的特征，按奇、偶數排列，來找出答案的。
3.在1、2、4、6、12、24、36、48中，哪些數是24的約數？哪些數是3的倍數？
分析：由于題目給出了有限的幾個數，所以在思考24的約數以及它的倍數時，只能從題目中的已知的這幾個數中選擇。這比寫出某個數的全部約數或指某數的幾個倍數的題目，有一定難度。
解答：本題24的約數有1、2、4、6、12、24，24的倍數有24、48兩個。
4.從小到大寫出10個有約數11的數。
分析：由于某數有約數11，說明某數能被11整除。某數有約數11，實質上某數是11的倍數，所以只要從小到大寫出11的倍數即可。
解答：從小到大10個有約數11有數是11、22、33、44、55、66、77、88、99。
5.既有約數2，又有約數3的50以內最大數是幾？
分析：解答時首先要理解題意，同時要注意得數的范圍。
解答：既有約數2，又有約數3的最小數是6，50以內6的倍數有6、12、18、24、30、36、42、48。其中最大的數是48，因此48就是本題的答案。
6.三個連續(xù)自然數的乘積為什么一定是6的倍數？
分析：因為任意三個連續(xù)自然數時，至少有一個是2的倍數和3的倍數，而2的倍數與3的倍數的乘積，必須是6的倍數。
7.在1～100的自然數中，既沒有約數2，又沒有約數3，還沒有約數5的數，共有多少個？
分析：在1～100的自然數中，把有約數2的數，有約數3的數、有約數5的數扣除，就是問題所求。所以解這道題時先分別求出1～100的自然數中有約數2、3、5數的個數。
解答：在1～100的自然數中：
有約數2的數有：100÷2=50(個)
有約數3的數有：100÷3=33(個)……1
有約數2、3的數有：100÷(2×3)=16(個)……4
有約數2、5的數有：100÷(2×5)=10(個)
有約數3、5的數有：100÷(3×5)=6(個)……10
有約數2、3、5的數有：100÷(2×3×5)=3(個)……10
在1～100的自然數中，既沒有2的約數，又沒有3的約數，還沒有5的約數的自然數共有：
100－[(50+33+20)－(16+10+6)+3]=26(個)
三、智能顯示
【心中有數】
（一）本單元學習的主要內容
（二）請你考考自己
選擇題，小學數學教案《數學教案－約數和倍數的意義》。把正確答案的字母填入括號內。
(1)第一個數能被第二個數整除的是（）。
(A) 15和2 (B) 3和8 (C) 1.5和5 (D) 24和6
(2)兩個奇數的和是（ ）。
(A)質數 (B)合數 (C)可能是質數，也可能是合數 (D)可能是質數、1或者合數
(3)兩個數的（ ）個數是有限的。
(A)公約數 (B)公倍數 (C)最大公約數 (D)最小公倍數
(4)在自然數中，凡是7的倍數（ ）。
(A)都是偶數 (B)都是奇數 (C)都是質數 (D)可能是奇數，也可能是偶數
(5)如果a÷b=5，那么（ ）。
(A) a一定能整除b (B) a可能整除b
(C) b一定是a的約數 (D) b可能是a的約數
(6)甲數=2×3×5×a，乙數=2×3×7×a，當a=（ ）時，甲、乙兩數的最大公約數是30。
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7
【動腦動手】
1.奶奶家有一個天達牌電子表，每起24分鐘亮一次燈，每到整點鐘響一次鈴。早晨6點時，這個電子表既響鈴又亮燈。那么，下一次既響鈴又亮燈時是幾點鐘？
2. 6與哪個數的最大公約數為3，而最小公倍數為30。
3.為迎接30年大慶少先隊員跳集體舞，不論每列4人、5人或6人，都能排成一個長方形隊伍而無剩余，問少先隊員至少有多少人？如果人數在150到200之間，那么少先隊員有多少人？
參考答案：
1.思路分析：因為這個電子表6點整的時候既響鈴又亮燈，又因為它每走24分鐘亮一次燈，所以從6點鐘起電子表走的分鐘是24分鐘亮一次，只要是24分鐘的倍數電子表都會亮燈。也就是說，下一次既響鈴又亮燈時，電子表所走的分鐘數一定是24的倍數。同樣道理，因為電子鐘每到整點鐘響一次鈴，即電子表每走60分鐘響一次鈴。那么下一次既響鈴又亮燈時，電子表所走的分鐘數也一定是60的倍數。所以下一次既響鈴又亮為時，電子表所起的分鐘數一定是24和60的公倍數，而且是它們的最小公倍數。
解：(1)求24和60的最小公倍數。
[24，60]=120
(2)計算走了幾個小時。
120÷60=2（小時）
(3)計算下一次既響鈴又亮燈時是幾點鐘。
6＋2=8（點）
答：下一次既響鈴又亮燈時是上午8點鐘。
2.思路分析：因為兩數的乘積等于這兩數的最大公約數與最小公倍數的乘積。
解：設所求的數是a，則6a=3×30，a=15，所以所求的數是15。
3.思路分析：根據題意可知，少先隊員人數分別能被4、5、6整除，所以人數是4、5、6的公倍數，題目要求至少有多少人，因此要求4、5、6的最小公倍數。
解：[4、5、6]=60（人）
答：少先隊員至少有60人。
60×3=180（人）
答：如果少先隊員在150至200之間，那么少先隊員有180人。
【創(chuàng)新園地】
1.兔子出生兩個月后就能生一對小兔，這一對小兔兩個月后又能生一對小兔。如果年初養(yǎng)了初生的一對小兔，一年后共有幾對兔子（不考慮意外死亡）？
2.有近3米長繩子，把它分別剪成長6厘米、8厘米或9厘米的短繩，結果都剩下3厘米，求繩長。
3.有一張長為105厘米、寬為75厘米的大紙，裁成大小相同的小正方形紙，要求無多余。問至少可裁多少張？
4.體育室有96根跳繩，如果不是一次拿走，也不是一根一根地拿走，要求每次拿走的根數同樣多，而且正好取光，問共有多少拿法？
參考答案：
1.年初的一至兔子，到3月份生一對；到兩個月后的5月份，年初的一對兔子和3月份生的一對兔子，2對兔子生2對；到7月份，4對兔子生4對；到9月份8對兔子生8對；到11月份16對兔子生16對；到第二年的1月正好一年，就有32對兔子生32對。
解：1＋1＋2＋4＋8＋16＋32=64（對）
答：一年后共有64對兔子。
2.解：[6、8、9]=72
72×4＋3=291（厘米）=2米91厘米
答：繩長2米91厘米。
3.解：（105、75）=15
（105÷15）×（75÷15）=35（張）
答：至少可裁35張。
4.分析：根據題意求共有多少種拿法？與96的約數的個數有密切的關系。題中告訴我們如果不一次拿走，也不是一根一根地拿走。顯然問題所求就是求96的所有約數個數去掉1和96這兩個約數的個數的差。
解：96的約數有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96共12個。
12－1－1=10(個)
答：共有10種拿法。
【同步題庫】
1.先口算，然后對符合整除意義的式子后面的括號里畫“√”，對不符合整除意義的在括號里畫“×”。
93÷3= ( ) 19÷2= ( )
3.5÷5= ( ) 4÷4= ( )
7.4÷3.7= ( ) 4÷0.8= ( )
2.填空
(1)在20、4.8、92、、0、0.3、111、1中，( )是自然數，( )是整數。
(2)寫出小于9的所有自然數( )；比5小而又不小于0的整數有( )。
(3) 29的約數有( )；36的約數有( )。
(4)在30～50中6的倍數有( )。
3.判斷下面各題，對的畫“√”，錯的畫“×”。
(1)凡是能夠除盡的一定能夠整除。 ( )
(2)自然數和零都是整數。 ( )
(3)一個數的倍數都比它的約數大。 ( )
(4)1是所有自然數的約數。 ( )
(5)任何一個數都有約數。 ( )
4.下面的每組數中，哪一個數是另一個數的倍數，哪個數是另一個數的約數。
180和60 36和36 19和133
5.把正確的答案填在括號里。
(1)最小的一位數是( )
①0 ②0.1 ③1
(2)一棵桃樹上結了桃，表示桃的個數是( )。
①整數 ②分數 ③小數 ④自然數
(3)下面三種說法正確的是( )
已知a能整除7，那么a是( )
①14 ②必定是7 ③是1或7。
(4) 73是73的( )。
①約數 ②倍數 ③約數也是倍數
6.在下面的圈內填上適當的數
16的約數 30以內的8的倍數 91的約數
7.下圖左圖里的數能被右圖里的哪些數整除？用直線連線來。
8.既有約數5，又是2的倍數的最小三位數幾？
9.100以內除以2或除以5有余數的數一共有多少個？
10.數a是60的約數，又是15的倍數，數a可能是幾？
11.根據已知條件，求出a、b的值。
(1)已知：a÷b=3.5,a÷b=3……7
求：a=( )；b=( )
(2)a÷b=3,a－b=16
a=( ),b=( )
12.在( )里填上最小的自然數。
【參考答案】
1.(√) 2.(×)
(×) (√)
(×) (×)
2.(1)(20、92、111、1)是自然數，(20、92、111、1、0)是整數。
(2)小于9的自然數有(8、7、6、5、4、3、2、1)；比5小而又不小于0的整數有(4、3、2、1、0)
(3)29的約數有(1、29)；36的約數有(1、2、3、4、6、9、12、18、36)
(4)30～50中6的倍數有(30、36、42、48)
3.判斷題
(1)(×)(2)(√)(3)(×)(4)(√)(5)(×)
4.180是60的倍數，60是180的約數；36是36的倍數，36是36的約數；19是133的約數，133是19的倍數。
5.選擇題
(1)最小的一位數是(1)
(2)表示桃的個數是(自然數)
(3)那么a是(1或者7)
(4)73是73的(約數也是倍數)
6.略 7.略
8.既有約數5，又是2的倍數的最小數是10，10的倍數中最小的三位數是100，所以，既有約數5，又是2的倍數的最小三位數是100。
9.這道題只要求出除以2或除以5沒有余數的數有多少個，再用100減去這個數即可。
除以2沒有余數的數有100÷2=50(個)，除以5沒有余數的數有100÷5=20(個)，其中除以2除以5都沒有余數有100÷(5×2)=10(個)，它們每10個數中出現(xiàn)一次。于是100以內除以2整除以5沒有余數的共有50+20－10=60(個)。那么100以內除以2或除以5有余數的數就應該有：
100－60=40(個)
10.數a可能是15、30、45、60。
11.(1)a÷b=3.5得知a是b的3.5倍，a÷b=3……7，可知a比b的3倍多7，而b的3.5倍又比它的3倍多0.5倍，0.5倍與7相對應，可以求b
b=7÷(3.5－3)=14,a=14×3.5=49
(2)a÷b=3,得知a是b的3倍，又知a－b=16，也就是a比b多16，此題是差倍問題。先求b，再求a。
b是16÷(3－1)=16÷2=8
a是8×3=24
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