“方程的根與函數的零點”教學教案設計
一、教學內容解析
本節課的主要內容有函數零點的的概念、函數零點存在性判定定理。
函數f(x)的零點,是中學數學的一個重要概念,從函數值與自變量對應的角度看,就是使函數值為0的實數x;從方程的角度看,即為相應方程f(x)=0的實數根，從函數的圖形表示看,函數的零點就是函數f(x)與x軸交點的橫坐標.函數是中學數學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯系性，而函數的零點就是其中的一個鏈結點,它從不同的角度,將數與形,函數與方程有機的聯系在一起。
函數零點的存在性判定定理，其目的就是通過找函數的零點來研究方程的根，進一步突出函數思想的應用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。定理不需證明，關鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認，由些需要結合具體的實例，加強對定理進行全面的認識，比如定理應用的局限性，即定理的前提是函數的圖象必須是連續的，定理只能判定函數的“變號”零點;定理結論中零點存在但不一定唯一，需要結合函數的圖象和性質作進一步的判斷。
對函數與方程的關系有一個逐步認識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則.從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形。
函數與方程相比較,一個“動”，一個“靜”;一個“整體”，一個“局部”。用函數的觀點研究方程，本質上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態的結果放在動態的過程中研究，這為今后進一步學習函數與不等式等其它知識的聯系奠定了堅實的基礎。
本節是函數應用的第一課，因此教學時應當站在函數應用的高度，從函數與其他知識的聯系的角度來引入較為適宜。
二、教學目標解析
1.結合具體的問題，并從特殊推廣到一般，使學生領會函數與方程之間的內在聯系，從而了解函數的零點與方程根的聯系。
2.結合函數圖象，通過觀察分析特殊函數的零點存在的特點，通過問題，理解連續函數在某個區間上存在零點的判定方法，并能由此方法判定函數在某個區間上存在零點。了解定理應用的前提條件，應用的局限性，及定理的準確結論。
3.通過具體實例，學生能結合函數的圖象和性質進一步判斷函數零點的個數。
4.在學習過程中，體驗函數與方程思想及數形結合思想。
三、教學問題診斷分析
1.通過前面的學習，學生已經了解一些基本初等函數的模型，掌握了函數圖象的一般畫法，及一定的看圖識圖能力,這為本節課利用函數圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。對于函數零點的概念本質的理解，學生缺乏的是函數的觀點，或是函數應用的意識，造成對函數與方程之間的聯系缺乏了解。由此作為函數應用的第一課時，有必要點明函數的核心地位，即說明函數與其他知識的聯系及其在生活中的應用，初步樹立起函數應用的意識。并從此出發，通過問題的設置，引導學生思考，再通過實例的確認與體驗，從直觀到抽象，從特殊到一般的學習方式，捅破學生認識上的這層“窗戶紙”。
2.對于零點存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學生操作感知，同時鼓勵學生舉例來驗證，最終能自主地獲得并確認該定理的結論。對于定理的條件和結論，學生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導學生從正面、反面、側面等不同的角度重新進行審視。
3.函數的零點，體現了函數與方程之間的密切聯系，教學中應遵循高中數學以函數為主線的這一原則進行聯結，側重在從函數的角度看方程，同時為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準備。
四、教學過程設計
(一)創設情景，揭示課題
函數是中學數學的核心內容，它不僅在生活中有著大量的應用，與其他數學知識有著千絲萬縷的聯系，若能抓住這一聯系，你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。
案例1：周長為定值的矩形
不妨取l=12
問題1：求其面積的值：
顯然面積是一個關于x的一個二次多項式
，用幾何畫板演示矩形的變化：
問題2：求矩形面積的最大值?
當x取不同值時，代數式的值也相應隨之變化，你能從函數的角度審視其中的關系嗎?
問題3：能否使得矩形的面積為8?你是如何分析的?
(1)實驗演示的角度進行估計，拖動時難以恰好出現面積為8的情況;
(2)解方程：x(6-x)=8
(3)方程x(6-x)=8能否從函數的角度來進行描述?
問題4：
一般地，對于一般的二次三項式，二次方程與二次函數，它們之間有何聯系?
結論：
代數式的值就是相應的函數值;
方程的根就是使相應函數值為0的x的值。
更一般地
方程f(x)=0的根，就是使函數值y=f(x)的函數值為0的x值，從函數的角度我們稱之為零點。
設計意圖:本節課是函數應用的第一課，有必要讓學生對函數的應用有所了解。從具體的問題出發,揭示函數與代數式、方程之間的內在聯系，并從學生所熟悉的具體的二次函數，推廣到一般的二次函數，再進一步推廣到一般的函數。
(二) 互動交流 研討新知
1.函數零點的概念：
對于函數
，把使
成立的實數
叫做函數
的零點.
2.對零點概念的理解
案例2：觀察圖象
問題1：此圖象是否能表示函數?
問題2：你能從中分析函數有哪些零點嗎?
問題3：從函數圖象的角度，你能對函數的零點換一種說法嗎?
結論：函數
的零點就是方程
實數根，亦即函數
的圖象與
軸交點的橫坐標.即：
方程
有實數根
函數
的圖象與
軸有交點
函數
有零點.
設計意圖：進一步掌握函數的核心概念，同時通過圖象進行一步完善對函數零點的全面理解，為下面借助圖象探究零點存在性定理作好一定的鋪墊。
2.零點存在定理的探究
案例3：下表是三次函數
的部分對應值表：
問題1：你能從表中找出函數的零點嗎?
問題2：結合圖象與表格，你能發現此函數零點的附近函數值有何特點?
生：兩邊的函數值異號!
問題3：如果一個函數f(x)滿足f(a)f(b)<0,在區間(a,b)上是否一定存在著函數的零點?
注意:函數在區間上必須是連續的(圖象能一筆畫),從而引出零點存在性定理.
問題4: 有位同學畫了一個圖,認為定理不一定成立,你的看法呢?
問題5:你能改變定理的條件或結論,得到一些新的命題嗎?
如1:加強定理的結論:若在區間[a，b]上連續函數f(x)滿足f(a)f(b)<0,是否意味著函數f(x)在[a,b]上恰有一個零點?
如2.將定理反過來:若連續函數f(x)在[a,b]上有一個零點,是否一定有f(a)f(b)<0?
如3:一般化:一個函數的零點是否都可由上述的定理進行判斷?(反例:同號零點,如案例2中的零點-2)
設計意圖：通過表格，是為了進一步鞏固對函數這一概念的全面認識，并為觀察零點存在性定理中函數值的異號埋下伏筆。通過教師的設問讓學生進一步全面深入地領悟定理的內容，而鼓勵學生提問，是培養學生學習主動性和創造能力必要的過程。
(三)鞏固深化，發展思維
例1、求函數f(x)=㏑x+2x -6的零點個數。
設計問題：
(1)你可以想到什么方法來判斷函數零點?
(2)你是如何來確定零點所在的區間的?請各自選擇。
(3)零點是唯一的嗎?為什么?
設計意圖：對所學內容鞏固，可以借助<幾何畫板>畫出函數f(x)的圖象觀察,也可借助列出函數值表觀察。
本題可以使學生意識對零點的區間是不唯一的，為下一節二分法求方程的近似解奠定基礎。
讓學生進一步領悟，零點的唯一性需要借助函數的單調性。
(四)歸納整理，整體認識
請回顧本節課所學知識內容有哪些?
所涉及到的主要數學思想又有哪些?
你還獲得了什么?
(五)作業(略)
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