數學與猜想讀后感
對數學的感悟讀書筆記
為了使自己對數學有更深層次的認識和理解，我看了關于數學的很多書籍來擴大自己的知識面和增長自己的專業素養.希望通過這次的總結能對以后學習數學乃至將來運用數學提供幫助.
一 數學是什么？
我以前一直有一個疑問“數學是什么？”.對于將來畢業后要做數學老師的我來說是個不小的難題，最近在網上看到了一篇文章《數學是什么》，覺得作為一名數學教師很有必要讀一讀！相信很多數學老師都這樣問過自己：數學究竟是什么？作為一個數學老師，如果這個問題都回答不了，好像有點說不過去.但是誰又能真正說清楚數學是什么呢？美國數學家柯朗在他的《數學是什么》的書中說道：“??對于學者，對于普通人來說，更多的是依靠自身的數學經驗，而不是哲學，才能回答這個問題：數學是什么？”的確，我們很難給數學下一個準確的定義，就讓我們在對一些案例的思考中去慢慢地揣摩數學的內涵吧.
如：文中談到“‘0’一直是整數而非自然數，為這，老師和學生們都沒少費腦筋，可現在“0”也加入了自然數的行列；“5個3是多少？”也可以寫成“5×3”了；“把6個桃平均分成3份”，操作時，直接拿2個放在一個盤子里，也不說你是科學性錯誤了”.難道數學是可以改變的嗎？本學期我教十冊數學就碰到了這樣的問題，“0”現在是自然了，一系列的問題就出現了：比如：“0”是不是偶數？??我也無法回答了.可能也有老師有這樣的疑問！“教過《三角形認識》的老師都知道，在這節課上我們第一個要煞費苦心的，就是讓學生懂得三角形是由三條線段圍成而非組成的圖形.為了“圍成”與“組成”，我們往往要花去很長的時間，并常常為此設計而津津樂道.反思一下，如果我們不去區別“組成”與“圍成”，或者說不把“圍成”突出來講，學生難道就會把“沒有連接在一起的三條線段組成的圖形”看成是三角形嗎？我看百分之百不會.數學課
上，我們往往喜歡教語文，喜歡去咬文嚼字，看似深挖實質問題，實際是漸離實質.對于一個概念的學習，我們不能只注重它的定義，我們更應該重視的是幫助學生形成豐富與清晰的心象：學生能畫出多少個形狀不同的三角形，學生能自主地在這些三角形中找出相同的特征并把它們歸類嗎？一提到鈍角三角形、等腰三角形，學生的頭腦中就能浮現出各種表象嗎？為什么學生作業中經常會出現“小明身高1.5厘米”等數學笑話？因為我們對定義的關注，也許超過了對象與它所代表的實際意義的關注，而后者的重要性要遠遠大于前者.”在《分數的意義》教學中，我們通常都是從復習平均分開始，然后逐漸地引導學生把一個餅平均分成2份，表示每一份的分數；把一條線段平均分成3份，表示每一份的分數??步步為營，一層一層地引導下來.如果我們在課的一開始，就讓同學們自己隨便寫一個分數，然后聯系生活實際用這個分數說句話，或直接說說這個分數所表示的意義，可以嗎？完全可以，在開放的、具有挑戰性的又聯系實際的問題情景中，學生的興趣只會更高，思維更活躍.我們不能老是讓學生接觸封閉的數學（條件唯一，答案唯一）.數學的魅力在哪里？在于數學的探索性與想象力.只有充滿著想象的數學，才會深深地吸引著孩子.某水果店有以下三種蘋果（每千克2元、每千克4元和每千克5元），用40元錢可以買多少千克蘋果？某種蘋果每千克2元，用40元錢可以買多少蘋果呢？100元呢？試比較以上兩道題，誰的魅力更大呢？”
看了這篇文章后，我覺得作為一名數學老師，更應該關注的是每一節課，每一個內容的學習要給予學生哪些實質性的東西.我也對數學有了新的認識.數學是一門語言.數學語言具有簡潔，無歧義的特點.數學符號往往內涵豐富，具有一定的抽象性.數學教科書中的語言可以說通常是文字語言、數學符號語言、圖形語言的交融.數學閱讀重在理解領會，而實現領會目的的行為之一就是“內部語言轉化”.即把閱讀交流內容轉化為易于接受的語言形式.因此，數學閱讀常要靈活轉化閱讀內容.例如把一個抽象的內容轉化為具體的或不那么抽象的內容；把用符號語言或圖式語言表述的關系轉化為文字語言的形式，及把文字語言表述的關系轉化為符號或圖式語言；用自己的語言來理解定義或定理等.總之，數學閱
讀通常要求大腦建起靈活的語言轉化機制，而這也正是數學閱讀有別于其它閱讀的主要方面.
數學材料的呈現主要是歸納和演繹，具有一定的嚴謹性，加之數學語言的抽象性，使數學閱讀需要具有較強的邏輯思維能力.
數學閱讀要求認真細致.閱讀一本小說或故事書時，可以不注意細節，跳過無趣味的段落.但數學閱讀要求對每個句子、每個名詞術語、每個圖表都應細致地閱讀分析，領會其內容、含義.對新出現的數學定義、定理一般不能一遍過，要反復仔細閱讀，并進行認真分析直至弄懂含義.
二、數學中蘊含的哲理
我喜歡數學，對數學有著濃厚的興趣，數學的一切都是那么的奧妙無窮.而我首先選擇，并且看看數學的發展史，首選的書籍當然是《數學史》了，只是我大學時候一本教科書.書里的內容，我感興趣并且能共同接受的只有一個，悖論，一個數學里面最有哲理的內容.
數學悖論最早是由一位古希臘哲學家芝諾提出來的，所以也叫做芝諾悖論.其中著名的有這么一個，兔子去追烏龜，盡管烏龜爬得很慢，但是兔子永遠也追不上烏龜.因為兔子要追上烏龜，必須先到達烏龜的出發點，當兔子追到烏龜的出發點時，烏龜利用兔子追這段路的時間向前爬出了一段，此時烏龜還是在兔子前面，兔子再追，每追一段，烏龜就會多爬出一段，所以兔子永遠也追不上烏龜.若從純數學的角度去看，這只是一個簡單的極限問題，就好比小數里面的循環小數，雖然無限多得可以寫下去，但是只是局限在某個范圍里面，這里的兔子追不上烏龜也被局限在了某個范圍里面，我們可以發現烏龜領先的距離越來越短，而且兔子趕上前面那段路的時間也越來越小，就好比0.999......一直在寫下一位的9，永遠突破不了1，在極限中，當無限接近時就是被認為相等，所以兔子雖然要追很多段路，但花的時間很少很少，直到無限接近于烏龜時，就認為兔子已經追上了烏龜.其實0.999....也可以看作是等于1的.
古希臘的這位哲學家是不可能明白這個數學道理的，卻提出一個當時只有極少數人能夠解決回答，并且能夠解決回答也幾乎沒有人能理解的數學問題，實在
有些一時口快之感，可恰恰是這些個一時口快，才著就了學術的發展，歷史的前進，數學的文明.歌德巴赫只是個數學教師，可他的猜想讓世界計算了一個時代.人們只曉拿破侖踏破歐洲的鐵蹄，卻不知他也在數學史上留名，這位皇帝曾經提出如何只用圓規將一個圓四等分，法國的數學家們由此研究得出尺規作圖除了直接劃出直線，全部可由圓規單獨完成.所以我又得到一致的結論，古人說錯了.
我們只是站在古人的肩膀上，數學史上的進步，不可忽視其中任何一個人，一個環節.設想，如果阿基米德活著的話，也許后人就能避免繞大的圈子來研究出一個個的幾何圖形，可能100年前就能造出現在的房子.如果牛頓沒被蘋果砸到，那時人們知道的他并不是物理學家，而是史上最偉大的數學家了.再看芝諾，如果他不提那幾個悖論，那么，也許是別人會提，至少數學的發展推遲了一個哲學的理論的出現，發現芝諾是和和那些巨人門站在一起.
數學的精髓是其思想，我讀《古今數學思想》，這本書主要講數學置于西方的背景下加以考察，對于中國數學談的卻很少.要談數學于西方文化及其他領域的相互關系及相互影響，談數學精神，數學思想在數學領域的體現和應用，然而，關于古希臘和希臘時期的第六章，恰恰強調的是數學精神的獨立性和創造性.
古希臘數學家鄙視手工勞動和商業勞動，柏拉圖就宣稱：“數學應該用于追求知識，而不應該用于貿易”，“自由人從事商業貿易是一種墮落”.即使對實用發明做出過巨大貢獻的阿基米德，真正真愛的仍然是演繹性科學，他也認為：“任何于日常生活有聯系的技藝都是粗俗的”.希臘人幾何發達，代數落后.他們將幾何學做成高度發達的演繹公理系統，這在歐幾里德的《幾何原本》里集了大成.而由于對“數”未能像對幾何學那樣建立起嚴密的邏輯體系，希臘人明顯有厚幾何薄代數的傾向.代數概念一定要轉變成幾何概念才算合法：解方程必須用幾何作圖法，二數乘積或三數乘積必須轉變成圖形的面積或者體積，所以四數的乘積被認為不可思議.但是幾何化并不能完成數論的公理化，希臘人只得將無法表示為整數或者整數之比的數稱為“無理數”，這個名稱一直沿用至今.而數的理論的公理化是遲至19世紀的事了.在幾何學內部，希臘人堅持尺規作圖得限制，所以有“三等分角”“立方倍積”“化圓為方”所謂三大難題的成立.其實
只要允許用復雜一點的工具，難題不難解決，但是希臘人不允許，因為這樣做是突破了公理的藩籬，摻雜近了感情因素，幾何學的理性便蕩然無存了.對于希臘人來說，維護理性的對立性和純粹性，比什么都重要，這種獨立的，純粹的理性精神，從來不曾在也有著悠久數學歷史的巴比倫、埃及、印度和中國的文化中出現.只出現在古希臘，事情似乎是，數學以及后來自然科學的理性，只能在特定的文化土壤和歷史背景中產生，而這種精神本身有是普世的，超文化的.
科學理性的歷史形態不拘一格.古希臘（特別是畢達哥拉斯柏拉圖學派）的理性是數學本質主義，認為數學的結構既是世界的本質.而由伽利略,牛頓開啟的近代物理學的理性則表現為“數學的描述現象”，僅僅是描述現象，而不問本質.牛頓用計算證明，使地球物體自由下落的力是與太陽繞行星旋轉的力可以用同一個公式來表示，這就夠了.至于問道“萬有引力”的本質，牛頓的回答是：“我們應該當力戒假說”.近代科學的偉大創始者都信仰上帝，在他們看來是上帝把世界創造的可以用數學來描述，而他們自己不過是人中的先覺，率先領悟了上帝的旨意而已.當牛頓發現，太陽系的實際運動呈現出偏離計算的不規則性，因而穩定成為問題時，他又不得不假設是上帝的不可知力量在維持著太陽系的穩定性，將理論性能視為上帝力量的顯現，歸公與上帝是感恩的心情；在理性不能及處，撒手任命.只讓上帝來負責是求助的心情.由于感恩的信仰和求助的信仰是應該加以區別的.18世紀的拉普拉斯算出行星運動的不規則是周期性的，因而太陽系還是穩定的，他既不感恩也不求助，所以當拿破侖問他《天體力學》一書中為什么不提上帝時，拉普拉斯回答說：“陛下，我不需要這個階段”.正因為這一點，我們通過讀這本書，從一些科學家的故事中吸取教訓，更應該相信真理和科學.
三、如何運用數學處理問題
數是一個概念，數軸是一個用數來衡量距離的經典的工具.數學的符號是將束賦予一些性質.關系實際上是一種邏輯關系.用抽象語言所無法表達的事物叫抽象的抽象.數字邏輯表達的是一種信息結構，揭示了表象之外，不為人所輕易
波利亞《數學與猜想》（第1卷）讀書筆記
小教122姚時灣2號
《數學與猜想》(第1卷)通過許多古(轉載于:asOliveiraeSilva的工作，用了很巧妙的編程方法。因此大家在做游戲時大可不必擔心會出問題。
第三講漢諾塔問題
漢諾（Hanoi）塔問題：古代有一個梵塔，塔內有三個座A、B、C，A座上有64個盤子，盤子大小不等，大的在下，小的在上（如圖）
。
有一個和尚想把這64個盤子從A座移到B座，但每次只能允許移動一個盤子，并且在移動過程中，3個座上的盤子始終保持大盤在下，小盤在上。在移動過程中可以利用B座，要求打印移動的步驟。
這個問題在盤子比較多的情況下，很難直接寫出移動步驟。我們可以先分析盤子比較少的情況。假定盤子從大向小依次為：盤子1，盤子2，...，盤子64。
如果只有一個盤子，則不需要利用B座，直接將盤子從A移動到C。
如果有2個盤子，可以先將盤子1上的盤子2移動到B；將盤子1移動到c；將盤子2移動到c。這說明了：可以借助B將2個盤子從A移動到C，當然，也可以借助C將2個盤子從A移動到B。
如果有3個盤子，那么根據2個盤子的結論，可以借助c將盤子1上的兩個盤子從A移動到B；將盤子1從A移動到C，A變成空座；借助A座，將B上的兩個盤子移動到C。這說明：可以借助一個空座，將3個盤子從一個座移動到另一個。
如果有4個盤子，那么首先借助空座C，將盤子1上的三個盤子從A移動到B；將盤子1移動到C，A變成空座；借助空座A，將B座上的三個盤子移動到C。
上述的思路可以一直擴展到64個盤子的情況：可以借助空座C將盤子1上的63個盤子從A移動到B；將盤子1移動到C，A變成空座；借助空座A，將B座上的63個盤子移動到C。
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